Админ
Администратор
Зарегистрирован: 08 фев 2009, 14:34 Сообщений: 934 Откуда: Екатеринбург
|
Задачи 3 Интервальные оценки
1 Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределённого при- 58 знака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадра- тическое отклонение s=5, выборочная средняя `хВ=14 и объём выборки n=25. Δ Решение: Требуется найти доверительный интервал `хВ – t s/ n < a < `хВ + t s/ n , (11) Здесь все величины, кроме t, известны. Найдём t. Из соотношения 2F(t)=0,95 получим F(t)=0,475. По таблице находим t=1,96. Подставив t=1,96, `хВ=14, s=5, n=25 в (11),окончательно получим искомый доверитель- ный интервал ▲ Ответ: 12,04<а<15,96. 2. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределённого при- знака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадрати- ческое отклонение s, выборочная средняя `хВ и объём выборки n: а) s=4, `хВ=10,2, n=16; б) s=5, `хВ=16,8, n=25. Ответ: а) 7,63<а<12,77, б) 14,23<а<19,37. 3. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклоне- нием случайных ошибок измерений s=40м произведено 5 равноточных изме- рений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надёжностью n=0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений `хВ=2000м. Ответ: 1960,8<а<2039,2. 4. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000ч. Найти с надёжностью 0,95 доверительный интервал для средней про- должительности а горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы s=40ч. Ответ: 992,16<а<1007,84. 5. Станок-автомат штампует валики. По выборке объёма n=100 вы- числена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с на- дёжностью 0,95 точность d, с которой выборочная средняя оценивает мате- матическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их сред- нее квадратическое отклонение s=2мм. Ответ: d=ts/ n =1,96× 2/10=0,392мм. 6. Найти минимальный объём выборки, при котором с надёжностью 0,975 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупно- сти по выборочной средней будет равна d=0,3, если известно среднее квадра- тическое отклонение s=1,2 нормально распределённой генеральной совокуп- ности. 59 Δ Решение. Воспользуемся формулой, определяющей точность оцен- ки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней: d=ts/ n . Откуда n=t2s2/d2. (12) По условию g=0,975, или 2F(t)=0,975, откуда Ф(t)=0,4875. По таблице найдём t=2,24. Подставив t=2,24, s=1,2 и d=0,2 в (12), получим искомый объ- ём выборки n=81. ▲ Ответ: 81. 201. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней будет равна 0,2, если извест- но среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности s =1,5. Ответ: n=179. 7. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п=10: Варианта xi -2 1 2 3 4 5 Частота ni 2 1 2 2 2 1 Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной сред- ней при помощи доверительного интервала. Δ Решение. Выборочную среднюю и исправленное среднее квадрати- ческое отклонение найдем соответственно по формулам: , n n x x i i B _ å = . n 1 n ( x x ) s 2 B _ i i - - = å Подставив в эти формулы данные задачи, получим xB 2, _ = s = 2,4. Найдем g t . Пользуясь таблицей, по g = 0,95 и n = 10 нахо- дим tg = 2,26. Найдем искомый доверительный интервал . n a x t s n x t s B _ B _ g g + < < - Подставляя B x _ = 2, g t = 2,26, s = 2,4, п = 10, получим искомый доверительный, интервал 0,3<a<3,7, покрывающий не- известное математическое ожидание а с надежностью 0,95.▲ Ответ 0,3<a<3,7. 8. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п= 12: Варианта xi -0,5 -0,4 -0,2 0 0,2 0,6 0,8 1 1,2 1,5 Частота ni 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 60 Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности при помощи довери- тельного интервала. Ответ: - 0,04<a<0,88. 9. По данным 9 независимых равноточных измерений некоторой фи- зической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений B _x =30,1 и исправленное среднее квадратическое отклонение s = 6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интер- вала с надежностью g =0,99. Δ Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее мате- матическому ожиданию а. Поэтому задача сводится к оценке математическо- го ожидания (при неизвестном s ) при помощи доверительного интервала . n a x t s n x t s B _ B _ - g < < + g Здесь все величины, кроме g t , известны. Найдем g t . По таблице по g = 0,95 и п = 9 находим g t =3,36. Подставив B _x = 30,1, g t = 3,36, s = 6, n = 9, получим искомый интервал 23,38 <а< 36,82.▲ Ответ : 23,38 <а< 36,82. 10. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измере- ний B x _ =42,8 и исправленное среднее квадратическое отклонение s=8. Оце- нить истинное значение измеряемой величины с надежностью g = 0,999. Ответ: 34.66<a< 50,94. Элементы теории корреляции. Линейная корреляция
_________________ http://splav-katamaran.ru | http://katamaran-ural.ru - Прокат катамаранов и организация сплавов по рекам Урала! Екатеринбург. +79501965005 katamaran.ural@mail.ru
|